15. 通用量子门

在之前的章节中，我们使用单量子比特门的集合。因为一些技术原因，在允许误差的量子计算中，我们想要仅仅使用Hadamard门和T门来代替单量子比特门的集合。 $\( H = {1\over\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \quad , \quad T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi / 4} \end{bmatrix} \)$

下面介绍的方法也可以拓展到其他可能的一对量子门。

最终，我们可以使用 H、T和CNOT 来近似模拟任意量子线路，我们称这一组门的集合为通用量子门。

首先，我们要说明如何使用H和T来近似任意单量子门。回忆之前的章节，任意单量子门都可以用一对旋转门来分解（拓展的Z-Y-Z分解）： $\( U = e^{i\alpha} R_n(\beta_1) R_m(\gamma_1) R_n(\beta_2) R_m(\gamma_2) \cdots \)\( 需要的门的数目取决于 \)\vec{n}\( 和 \)\vec{m}$ 之间的夹角。

任意 \(2\times 2\) 的矩阵都可以用 Pauli 基分解： $\( A = a_0 I + a_x X + a_y Y + a_z Z \)\( 不难写出 \)\( R_n(\theta_{unit}) \propto THTH = \cos{\theta_{unit}\over 2} I - i(\vec{n}\cdot \vec{\sigma}) \sin{\theta_{unit}\over 2} \)\( 这确定了 \)\vec{n} = (\cos{\pi\over 8}, \sin{\pi\over 8}, \cos{\pi\over 8})\( （未单位化） 和 \)\theta_{unit}$ 。

现在我们需要担心能否产生连续的旋转角度。显然如果使用 \((THTH)^k\) 可以产生 \(R_n(k \theta_{unit})\)，所以问题是我们能否使用 \(R_n(\theta_{unit})\) 对任意连续值进行逼近？也就是说，对于 \(\forall \beta \in [0, 2\pi)\)，找到某个 \(k\in N\)，使得下面的关系成立 $\( R_n(\beta) \approx R_n(k \theta_{unit}) = R_n(\theta_{unit})^k = (THTH)^k \)$

证明的关键在于，如果 \(\theta_{unit}\) 不是 \(2\pi\) 的有理数倍（\(\theta_{unit} / 2\pi \notin \mathbb{Q}\)），那么可以保证 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists k \in N\)，使得 $\( E(R_n(\beta), R_n(k\theta_{unit})) < \epsilon \)$

圆上的稠密性

Fact 1

如果 \(\alpha \in [0, 1)\) 是无理数，那么点集 \(n\alpha \mod 1\) 全部是不同的。

Proof:

假设存在两个点是相同的，即 \(n \alpha - m\alpha = k\)，其中 \(k\in \mathbb{Z}\)。那么我们可以将 \(\alpha\) 写成 \(\alpha = k / (n-m)\)，这和 \(\alpha\) 是无理数矛盾。因此点集 \(\lbrace n\alpha \mod 1\rbrace\) 中没有重复元素。

Fact 2

对于 \(\epsilon > 0\)，存在 \(N\in \mathbb{N}\) 使得 \(\epsilon > 1/N\)，现在把 \([0, 1]\) 区间分成 \(N\) 份，每份区间长度为 \(1/N\)，根据抽屉原理（鸽笼原理），考虑 \(\alpha, 2\alpha, \ldots, N\alpha, (N+1)\alpha\) 模 \(1\) 意义下，一定存在 \(m\alpha \mod 1\) 和 \(n\alpha \mod 1\) 落在同一个区间，即 \(|m-n|\alpha \mod 1 < \epsilon\) 。令 \(r \equiv |n-m|\)，注意到 \(r\alpha \mod 1\) 的倍数形成了单位环上等间距的点集，间距小于 \(\epsilon\) 。

现在我们可以对角度进行任意逼近，下面说明旋转算子的误差满足：(证明留作习题) $\( E(R_n(\theta_1), R_n(\theta_2)) \leq \left| e^{i\theta_1} - e^{i\theta_2} \right| \leq |\theta_1 - \theta_2| \)$

同理，我们可以定义 \(R_m(\gamma)\) $\( R_m(\gamma) \equiv HR_n(\gamma)H = HTHT \)$

综上所述，我们可以构造 $\( E(U, R_n(k_1 \theta_{unit}) R_m(k_2 \theta_{unit}) R_n(k_3 \theta_{unit}) R_m(k_4 \theta_{unit}) \cdots) < c\epsilon \)\( 其中 \)c$ 代表旋转门的数目。

习题

Exercise 1

证明： $\( E(R_n(\theta_1), R_n(\theta_2)) \leq \left| e^{i\theta_1} - e^{i\theta_2} \right| \leq |\theta_1 - \theta_2| \)$