02. 多量子比特#
二量子比特的标准基： $\(|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\)\( 其中 \)|00\rangle \equiv |0\rangle|0\rangle \equiv |0\rangle \otimes |0\rangle$ 。
不像单量子比特对应Bloch球面上的一点，多量子比特并没有一种简单的几何图景。
对于任意矩阵 \(X\in \mathbb{C}^{m\times n}, Y\in \mathbb{C}^{p\times q}\)，张量积（Kronecker积）定义为 $$ X\otimes Y \equiv
\in \mathbb{C}^{(mp)\times (nq)} $$
因此二量子比特的标准基的矩阵表示如下：
在mindquantum中，sim.get_qs(True) 可以返回量子态，并且用ket表示。
需要注意的是，在mindquantum中，量子比特是按照从大到小的顺序排列的 \(|q_n, q_{n-1}, \ldots, q_1, q_0\rangle\) 。
from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.core.gates import X
sim = Simulator("mqvector", 2)
# |00⟩
sim.reset()
print(sim.get_qs(True), sim.get_qs())
# |01⟩
sim.reset()
sim.apply_gate(X.on(0))
print(sim.get_qs(True), sim.get_qs())
# |10⟩
sim.reset()
sim.apply_gate(X.on(1))
print(sim.get_qs(True), sim.get_qs())
# |11⟩
sim.reset()
sim.apply_gate(X.on(0))
sim.apply_gate(X.on(1))
print(sim.get_qs(True), sim.get_qs())
1¦00⟩ [1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
1¦01⟩ [0.+0.j 1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
1¦10⟩ [0.+0.j 0.+0.j 1.+0.j 0.+0.j]
1¦11⟩ [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 1.+0.j]
任意二量子比特可以写作 $\(|\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle +\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle\)\( 其中 \)|\alpha_{00}|^2+|\alpha_{01}|^2+|\alpha_{10}|^2+|\alpha_{11}|^2=1$ 。
如果使用标准基进行测量，得到 \(00\) 的概率是 \(P(00) = |\alpha_{00}|^2\) 。
可以从二量子比特推广到任意数量的量子比特，则多比特量子态表示为： $\( |\psi_n \rangle = \sum_{x\in[0,1]^n}c_{x_1 x_2 \cdots x_n}|x_1 x_2 \cdots x_n\rangle = \sum_{x\in [0,1]^n} c_x|x\rangle \ , \)\( 其中 \)\sum_x |c_x|^2=1$。
贝尔态#
两比特的最大纠缠态称为贝尔态（总共四种）： $\( |\psi_{Bell} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) \)$
剩下三种贝尔态为 $\( \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle),\enspace\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle + |10\rangle),\enspace \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle) \)$
若想在MindQuantum中将模拟器的量子态设置为第一种贝尔态，则需要得知贝尔态的列向量：
$\(
\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\)$
然后通过set_qs接口改变模拟器状态，该接口会自动将输入向量归一化，因此可以省略系数，如下所示：
from mindquantum.simulator import Simulator
import numpy as np
sim = Simulator('mqvector', 2)
sim.set_qs(np.array([1, 0, 0, 1]))
bell_state = sim.get_qs(ket=True)
print(bell_state)
√2/2¦00⟩
√2/2¦11⟩
部分测量#
如果我们只对第一个量子比特进行测量，我们会得到 \(0\) 或者 \(1\)，假设测量结果是 \(x\)，此时第二个量子比特就会变成 $\(|\psi_2\rangle = \frac{\alpha_{x0}|0\rangle + \alpha_{x1}|1\rangle}{\sqrt{|\alpha_{x0}|^2 + |\alpha_{x1}|^2}}\)$
我们考虑一个特殊的例子 $\(|\psi\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}\)$
先对第一个量子比特进行测量，如果测量的结果是 0，那么第二个量子比特应该会变成 \(|0\rangle\)；如果测量的结果是 1，第二个量子比特应该会变成 \(|1\rangle\)。因此，如果再对第二个量子比特进行测量，测量结果将和第一次测量保持一致。
from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.core.gates import X, CNOT, H, Measure, BarrierGate, BARRIER
from mindquantum.core.circuit import Circuit
from IPython.display import display_svg
sim = Simulator("mqvector", 2)
sim.apply_gate(H.on(0))
sim.apply_gate(CNOT.on(1, 0))
print(sim.get_qs(True))
circ = Circuit()
circ += Measure("M0").on(0)
circ += BarrierGate(True)
# circ += BARRIER
circ += Measure("M1").on(1)
display_svg(circ.svg()) # 代码块内部调用 .svg() 要使用 display_svg
res = sim.sampling(circuit=circ, shots=1000)
res.svg() # jupyter notebook 代码块最后一行可以直接使用 .svg() 渲染
√2/2¦00⟩
√2/2¦11⟩
API 解释：
BarrierGate(True)是一种特殊的门，本质上它什么计算都不做，只是在打印出线路时强制对齐，插入一个栅栏将左右分隔开，如果参数是True，打印时打印出来，如果是False，不打印出来（相当于插入BARRIER）；打印量子线路的方法：
print(circ)：将量子线路以字符串的形式输出；
circ.svg()：在 jupyter notebook 的环境中，MindQuantum 的很多类型都可以调用.svg()来实现更漂亮的输出，例如：Circuit、MeasureResult等等。调用.svg()必需在代码块的末尾，如果想在代码块中间调用，需要使用IPython.display.display_svg函数。
from show_info import InfoTable
InfoTable('mindquantum', 'numpy', 'matplotlib')
| Software | Version |
|---|---|
| mindquantum | 0.11.0 |
| numpy | 1.26.4 |
| matplotlib | 3.10.1 |
| System | Info |
| Python | 3.11.10 |
| OS | Darwin arm64 |
| Memory | 17.18 GB |
| CPU Max Thread | 10 |
| Date | Tue Sep 16 17:59:46 2025 |
习题#
Exercise 1#
对 \(|\psi\rangle = \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt{2}}\) 的两个比特进行测量。