04. Pauli 门 & Hadamard 门

04. Pauli 门 & Hadamard 门#

对于一个单量子门 \(\mathcal{U}\) ，其作用效果如下： $$

\[\begin{align*} \mathcal{U} |0\rangle & = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \equiv |\phi\rangle \\ \mathcal{U} |1\rangle & = \alpha' |0\rangle + \beta' |1\rangle \equiv |\phi_\bot\rangle \end{align*}\]
\[\begin{split}如何写出 $\mathcal{U}$ 的矩阵？ $$\begin{align*} \mathcal{U} & = \mathcal{U} I \\ & = \mathcal{U} \left|0\right> \langle0| + \mathcal{U} |1\rangle \langle 1|\\ & = \left( \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \right) \langle 0 | + \left( \alpha' |0\rangle + \beta' |1\rangle \right) \langle 1 | \\ & = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \langle 0| + \begin{pmatrix} \alpha' \\ \beta' \end{pmatrix} \langle 1| \\ & = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha' \\ \beta & \beta' \end{pmatrix} \end{align*}\end{split}\]

注意到 $\( 0 = \langle 0 | 1 \rangle = \langle 0 | \mathcal{U}^\dagger \mathcal{U} |1\rangle = \langle \phi | \phi_\bot \rangle = \alpha^* \alpha' + \beta^* \beta' \)\( 因此 \)\mathcal{U}$ 是一个酉矩阵。

Pauli门#

前面我们已经简单认识了 Pauli-X 门。实际上总共有 3 种 Pauli 门： \(X, Y, Z\)，它们的作用效果如下： $$

\[\begin{align*} X |0\rangle = |1\rangle , \quad & X |1\rangle = |0\rangle \\ Y |0\rangle = i |1\rangle , \quad & Y |1\rangle = -i |0\rangle \\ Z |0\rangle = |0\rangle , \quad & Z |1\rangle = - |1\rangle \end{align*}\]
\[因此 $X, Y, Z$ 的矩阵如下： \]
\[\begin{align*} X & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ Y & = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\ Z & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

$$

from mindquantum.core.gates import X, Y, Z

print("X:")
print(X.matrix())
print("Y:")
print(Y.matrix())
print("Z:")
print(Z.matrix())

X:
[[0 1]
 [1 0]]
Y:
[[ 0.+0.j -0.-1.j]
 [ 0.+1.j  0.+0.j]]
Z:
[[ 1  0]
 [ 0 -1]]

API 解释：

MindQuantum 中大部份量子门都继承自 BasicGate 类，这个类有一个接口 .matrix() 返回门的矩阵形式（numpy 二维数组）。

Pauli门具有如下的性质： $$

\[\begin{align*} X^2 = Y^2 = Z^2 = I \\ XYZ = iI\\ XY = iZ \\ YZ = iX \\ ZX = iY \end{align*}\]

$$

from mindquantum.core.gates import X,Y,Z
import numpy as np

x = X.matrix()
y = Y.matrix()
z = Z.matrix()

print("X^2 = I : ", np.allclose(x @ x, np.identity(2)))
print("Y^2 = I : ", np.allclose(y @ y, np.identity(2)))
print("Z^2 = I : ", np.allclose(z @ z, np.identity(2)))

print("XYZ = iI : ", np.allclose(x @ y @ z, 1j * np.identity(2)))

X^2 = I :  True
Y^2 = I :  True
Z^2 = I :  True
XYZ = iI :  True

API 解释：

在量子计算中我们常常需要证明一些恒等式（线路等价性），除了拿起笔手动推导，我们可以利用计算机方便的证明这些恒等式。例如直接计算矩阵乘法，比较等式两端的计算结果。 在 numpy 中 A 和 B 矩阵乘法可以用

  • A.dot(B)

  • A @ B

  • np.dot(A, B)

  • np.matmul(A, B)

注意不要使用 A * B 和 A.multiply(B)，其含义是矩阵对应位置相乘。

对比两个矩阵相等建议使用 np.allclose(A, B)，因为浮点数计算存在误差，该函数是在误差范围内比较两个矩阵。

Hadamard 门#

几乎所有量子电路都有 Hadamard 门： $\( H \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\langle 0|+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)\langle 1| \)\( 其中 \)\( H|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) \quad, H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) \)$

注意到 \(H\) 也是自逆的，即 \(H^2=I\)，并且 \(H=(X+Z)/\sqrt{2}\)。

以下是一些 Hadamard 门的性质： $\( HXH=Z, \quad HZH=X, \quad HYH=-Y \)$

例如，\(HR_x(\theta)H=Icos\frac{\theta}{2}-iHXHsin\frac{\theta}{2}=R_z(\theta)\)。

最后我们还需要知道另外两个单比特门： $\( S \equiv\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & i \end{array}\right) \quad, \quad T \equiv\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \pi / 4} \end{array}\right) \)\( 并且有\)S=T^2$。

实际上，在实验室中，人们可能不具备从任意方向控制量子比特旋转的能力。比如说，如果我们只能实现\(R_z\)和\(R_y\)该怎么办？

在 MindQuantum 中也有 H , S 和 T 门，使用方法如下：

from mindquantum.core.gates import H, S, T
from mindquantum.core.circuit import Circuit

circ = Circuit()
circ += H.on(0)
circ += S.on(1)
circ += T.on(1)
print(circ)

      ┏━━━┓         
q0: ──┨ H ┠─────────
      ┗━━━┛         
      ┏━━━┓ ┏━━━┓   
q1: ──┨ S ┠─┨ T ┠───
      ┗━━━┛ ┗━━━┛

在其它基矢下的测量#

前面提到，我们可以在标准基\(\lbrace|0\rangle, |1\rangle \rbrace\)下对量子比特进行测量，得到 0 或 1。除了标准基，还有一组经常使用的基，它对应 \(x\) 轴方向上的测量 $\(|\pm\rangle = \frac{|0\rangle \pm |1\rangle}{\sqrt{}2}\)$

可以使用Hadmard门来得到这两个量子态： $\(H\equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ H|0\rangle = |+\rangle, \quad H|1\rangle = |-\rangle \)$

from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.core.gates import H, X

sim = Simulator("mqvector", 1)

sim.reset()
sim.apply_gate(H.on(0))
print("|+⟩: ", sim.get_qs())

sim.reset()
sim.apply_gate(X.on(0))
sim.apply_gate(H.on(0))
print("|-⟩: ", sim.get_qs())

|+⟩:  [0.70710678+0.j 0.70710678+0.j]
|-⟩:  [ 0.70710678+0.j -0.70710678+0.j]

API 解释：

  • sim.reset() 将模拟器 sim 的量子态重置为 \(|0\rangle^{\otimes n}\) 态，其中 \(n\) 表示模拟器的量子比特数目；

  • sim.apply_gate(H.on(0)) 将模拟器 sim 的量子态 第0个比特作用 H 门，注意 apply_gate 和 apply_circuit 都会改变量子态；

由于mindquantum的测量都是在标准基下进行的，想要在 \(\lbrace |+\rangle, |-\rangle\rbrace\) 下测量，需要使用H门进行转换。 $$

\[\begin{align*} |\psi\rangle & = \alpha |+\rangle + \beta |-\rangle \\ H |\psi\rangle & = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \end{align*}\]

$$

对 \(|+\rangle\) 沿着 \(x\) 轴（使用 \(\lbrace |\pm\rangle \rbrace\)）进行测量，测量结果总是 \(0\)；如果使用 \(z\) 轴（标准基 \(\lbrace |0\rangle, |1\rangle \rbrace\)）进行测量，测量结果是 \(0\) 和 \(1\) 的随机字符串，例如 \(01010001100111\ldots\) 。

from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.core.gates import H, Measure
from mindquantum.core.circuit import Circuit
from IPython.display import display_svg

sim = Simulator("mqvector", 1)

sim.reset()
sim.apply_gate(H.on(0))
print("|+⟩: ", sim.get_qs())

# using |+⟩ and |-⟩ to measure
circ = Circuit()
circ += H.on(0)
circ += Measure("Measure in |+⟩ and |-⟩").on(0)
res = sim.sampling(circuit=circ, shots=100)
display_svg(res.svg())

# using |0⟩ and |1⟩ to measure
circ = Circuit()
circ += Measure("Measure in |0⟩ and |1⟩").on(0)
res = sim.sampling(circuit=circ, shots=100)
res.svg()

|+⟩:  [0.70710678+0.j 0.70710678+0.j]
_images/1e80edc3e3a474a323fbd81aff6905f537f96532fce2a380af3c7679653c622f.svg _images/0f2daa15c2047706f73a2109c6be808634bb9b21689cf091252820c387afaf6b.svg 
from show_info import InfoTable

InfoTable('mindquantum', 'matplotlib', 'numpy')
Software Version
mindquantum0.11.0
matplotlib3.10.1
numpy1.26.4
System Info
Python3.11.10
OSDarwin arm64
Memory17.18 GB
CPU Max Thread10
DateTue Sep 16 17:59:58 2025

习题#

Exercise 1#

我们定义 \([A, B] = AB - BA\)，\(\lbrace A,B \rbrace = AB + BA\)，\(\vec{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) = (X, Y, Z)\)，验证

\[\begin{split} \lbrace \sigma_i, \sigma_j \rbrace = 2\delta_{i,j} I = \begin{cases} 2I \quad & i = j \\ 0 \quad & i \neq j \end{cases} \end{split}\]

Exercise 2#

请用 MindQuantum 验证下式是否成立 $\( H|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) \quad, H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) \)$

Exercise 3#

请用 MindQuantum 验证下式是否成立 $\( HR_x(\theta)H=R_z(\theta) \)$

Exercise 4#

对 \(|\psi\rangle = \frac{|0\rangle + (1+i)|1\rangle}{\sqrt{3}}\) 使用 \(\lbrace |+\rangle, |-\rangle\rbrace\) 进行测量。

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