03. 量子门

03. 量子门#

幺正变换#

先前提到量子态是一个（列）向量 $|\psi\rangle$（ket），并且其振幅的平方就是概率。与之对应的则是（行）向量 $\langle \psi|$（bra），

内积则称为 “bracket”

这也被称为归一化条件。

所以，若量子态是一个向量，则改变量子态的操作必须是一个矩阵（基于线性代数）。 $$ |\psi\rangle \to U|\psi\rangle $$ 在对偶空间则表示为 $$ \langle\psi|\to \langle\psi|U^\dagger $$ 其中$A^\dagger \equiv (A^T)^*$。

为了保证概率守恒，我们需要 $$ \langle \psi|\psi\rangle = \langle \psi|U^\dagger U|\psi\rangle = 1 $$ 对于所有可能的 $|\psi\rangle$ 都成立。这就意味着 $$ U^\dagger U = I \Rightarrow U^\dagger = U^{-1} $$ 这正是幺正矩阵的定义。

总结性回顾#

任何对量子态的改变都可以用一个矩阵来表示。
由于概率守恒，该矩阵必须保证幺正性。
换句话说，任何量子计算的量子动力学行为都必须是一种幺正变换（的子集）。

作为幺正变换的量子计算？#

接下来，我们可以想象量子计算是由一类幺正变换来表示，例如 $$ U|\psi_{in}\rangle=|\psi_{out}\rangle $$

传统上，物理学家以这种方式解决问题：已知初态和哈密顿量，寻找末态。但对于量子计算，通常我们已知初态与末态，而目标是找到量子线路$U$（量子算法）。

与经典计算相比较： $$ f(x_{in}）=y_{out} $$ 我们稍后会表明量子计算是更加普适的，这意味着我们也可以用量子计算机完成经典计算任务。问题的关键是一旦定义好输入与输出之间的逻辑关系，我们需要知道如何在物理上实现其对应的幺正变换（称为量子电路）。回想一下，经典电路由基本的逻辑运算组成（AND, OR, NOT, NAND等），量子电路同样应该由基本逻辑运算组成，它们是什么？（我们会在之后发现）

术语#

量子线路：实现量子算法的一种方式（更大的幺正矩阵）
量子门：量子电路的元素（较小的幺正矩阵）
算符：矩阵（不一定幺正）

泡利 `X` 门#

单量子比特门 $\equiv$ 单量子比特幺正矩阵（变换）

在经典计算机中，非门的效果如下： $$ Logical \enspace NOT \enspace gate: \enspace 1 \to 0 \enspace and \enspace 0 \to 1 $$ 而现在我们想要一个量子版本的非门： $$ Quantum \enspace NOT \enspace gate: \enspace |1\rangle \to |0\rangle \enspace and \enspace |0\rangle \to |1\rangle $$ 这也被称为比特翻转。

使用泡利 X 门就可以做到上述操作 $$ \sigma_x \equiv U_X \equiv X = |1\rangle\langle 0| + |0\rangle\langle 1|= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

可以验证泡利 X 门是幺正矩阵： $$ X^\dagger X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I $$

用狄拉克符号可以容易的验证：

\[\begin{split} X\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\beta \\ \alpha \end{pmatrix} \end{split}\]

量子线路#

一个量子线路（非常大的幺正变换）包括一系列的门（小一些的幺正变换），其中每一条线代表一个量子比特，从左往右依次作用每个门（矩阵乘法作用顺序是从右到左）。

例如：$AB|\psi\rangle$ 表示先作用 $B$ 再作用 $A$。

量子线路是非循环的，线路中不存在环；量子线路是可逆的（经典线路通常不可逆）。

现在我们可以尝试在MindQuantum中搭建一个简单的量子电路——对一个量子比特作用泡利 X 门。首先创建一个量子电路：

from mindquantum.core.circuit import Circuit

circ = Circuit()
quantum_state = circ.get_qs(ket=True)
print(quantum_state)

1¦0⟩

可以看到电路的初始量子态处于 $|0\rangle$ 态，现在我们作用泡利 X 门，然后打印电路量子态：

from mindquantum.core.gates import X

circ += X.on(0) #对第0个比特作用X门
# print(circ)     #打印线路
circ.svg()

_images/38510aa88b572beec4505105dc011b9c3c9db5eeab8c11f520affa3a6d166845.svg

new_state = circ.get_qs(ket=True)
print(new_state)

1¦1⟩

可以看到，对 $q_0$ 作用泡利 X 门后，量子态变为 $|1\rangle$ 态。

API 解释：

mindquantum.core.circuit 里面包含了量子线路相关的 API；

mindquantum.core.gates 里面包含了量子门相关的 API；

circ = Circuit() 定义一个名为 circ 的量子线路，初始为空；

向量子线路中添加量子门的方法有几种：

circ += X.on(0)：添加一个作用在 q0 上的 X 门；

circ.x(0)：添加一个作用在 q0 上的 X 门；

circ.append(X.on(0))：添加一个作用在 q0 上的 X 门；

circ += Circuit([X.on(0), X.on(1)])：在 circ 后面拼接一个新的量子线路；

circ.extend([X.on(0), X.on(1)]：在 circ 后面按找 list 的顺序添加量子门

下面的代码演示了 MindQuantum 中对量子线路添加量子门的几种方法：

from mindquantum.core.circuit import Circuit
from mindquantum.core.gates import X, Y, H 

circ = Circuit()
circ += X.on(0)
circ.h(0).h(1)
circ.append(Y.on(1))
circ += Circuit([X.on(0), H.on(1)])
circ.extend([X.on(1), Y.on(1)])
circ.svg()

_images/2a3b90a45866fcf7bfd158b1f9798478d905c8c5e07cedd040309a4fa2fd7257.svg

from show_info import InfoTable

InfoTable('mindquantum')

Software	Version
mindquantum	0.11.0
System	Info
Python	3.11.10
OS	Darwin arm64
Memory	17.18 GB
CPU Max Thread	10
Date	Tue Sep 16 17:59:54 2025